Ketika SMA, saya terpesona dengan soal
sederhana. Sebuah soal matematika UMPTN (SPMB) yang hanya melibatkan
pemahaman deret aritmetika dan rumus Pythagoras. Saya yakin pemahaman
konsep deret dan Pythagoras ini sangat membantu untuk sukses Anda dalam
UN, SPMB, UMPTN 2008. Soal sederhana itu adalah:
Sebuah segi tiga siku-siku, panjang
sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika luas segi tiga tersebut
adalah 96 satuan, maka sisi terpendek adalah…
Soal di atas sering muncul pada tahun 90-an.
Lalu sempat menghilang. Lalu muncul lagi. Meski pun pernah menghilang,
tetapi prinsip-prinsip penyelesaian soal itu tetap berguna sampai Anda
kuliah di perguruan tinggi.
Mari kita diskusikan jalan penyelesaian soal di atas.
Pertama, luas = 96 = ½ x
alas x tinggi. Jika kita mengetahui salah satu dari alas atau tinggi
maka langsung dapat menghitungnya. Dan yang terpendek adalah jawabannya.
Tetapi kita belum mengetahui kedua-duanya.
Segi tiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras: x2 + y2 = z2 ; x atau y adalah yang kita cari. Tetapi kita belum memiliki informasi apa pun tentang xyz ini.
Barisan aritmetika, berlaku selisih setiap sisi adalah sama. Atau setiap sisi dapat kita nyatakan sebagai: a, (a+b), (a+2b).
Kedua, dari pemahaman di atas kita dapat mencoba menyelesaikan soal ini dengan membentuk sebuah sistem persamaan:
96 = ½ . x . y …………………………….(1)
x2 + y2 = z2 ……………………………….(2)
x = a; y = a+b; z = a + 2b ……………(3)
Kita pasti dapat menyelesaikan soal ini. Kita
memiliki 3 persamaan dengan 3 variabel yang belum diketahui (x, y, z).
Kita boleh yakin akan memperoleh jawaban tunggal yang unik.
Sangat bermanfaat bagi kita untuk memahami dengan
mendalam bahwa kita hanya dapat memperoleh solusi unik bila memiliki n
persamaan dengan n variabel yang belum diketahui. Jika kita punya 2
persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui, kita tidak akan dapat
menyelesaikan persamaan tersebut untuk memperoleh jawaban tunggal. Masih
terdapat banyak jawaban dari sistem persamaan ini.
Sedangkan jika kita memiliki 3 persamaan dengan 2
variable, kita akan memiliki penyelesaian yang tidak konsisten.
Pemahaman konsep ini justru lebih penting dari sekedar mendapatkan
jawaban soal UN, SPMB atau UMPTN.
Saya perhatikan soal UN, SPMB, UMPTN sering
memunculkan 3 persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui.
Sayangnya para siswa banyak yang tidak memahami ini. Mereka bekerja
keras dengan menghitung sana, menghitung sini. Tetapi tidak akan pernah
mendapatkan jawaban yang diharapkan.
Mengapa? Mereka hanya menggunakan 2 persamaan.
Tentu tidak akan selesai. Sebelum mengerjakannya, pastikan dulu apakah
kita sudah memiliki kondisi yang mencukupi?
Kembali ke contoh soal di atas, bagaimana cara kita
menyelesaikan persamaan itu? Secara umum kita dapat menyelesaikannya
dengan teknik eliminasi atau substitusi. Kelak kita akan belajar
menyelesaikan sistem persamaan dengan bantuan aljabar matrik.
Ketiga, mari kita selesaikan sesuai rencana. Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) kita peroleh:
a2 + (a+b)2 = (a+2b)2 ……………(4)
Silakan mencoba menghitungnya. Kombinasikan dengan persamaan (1) yang sedikit kita ubah menjadi persamaan (5) berikut:
96 = ½ . a (a+ b) ……..(5)
Pasti kita akan memperoleh nilai a dan b. Tetapi berapa lama kita akan menemukannya? Bagaimana dengan risiko salah hitung?
Keempat, mari kita cermati seluruh langkah yang kita lakukan.
Barisan aritmetik sering lebih mudah bila kita tulis sebagai:
(a – b), a, (a + b) ………….(6)
Rumus Pythagoras menjadi:
(a – b)2 + a2 = (a + b)2 …………….(7)
Silakan menghitung persamaan (7) ini. Dengan mudah kita akan memperoleh:
a = 4b …………(8)
Substitusi ke persamaan luas menjadi:
96 = ½ (a – b).a = ½ (4b – b).4b
Kita peroleh
b = 4 dan
a = 16
Sisi terpendek adalah a – b = 16 – 4 = 12 (Selesai).
Adakah cara lain?
Tentu ada. Mengapa kita tidak memanfaatkan
intuisi saja? Mengapa kita tidak memanfaatkan dugaan saja? Bukankah
Einstein menduga bahwa postulatnya benar? Kemudian dengan postulat ini
Einstein mengembangkan rumus-rumusnya yang menghasilkan E = mc2.
Mari kita coba dengan menduga seperti Einstein!
Postulat:
Hanya ada satu jenis segitiga siku-siku yang
sisinya membentuk barisan aritmetika yaitu segi tiga yang panjang
sisinya adalah 3,4, dan 5 atau kelipatannya.
Mari kita terapkan postulat itu untuk contoh soal kita:
96 = ½ (3n)(4n) ………….(9)
n = 4
Jadi, sisi terpendek adalah 3n = 12 (Selesai).
Dengan banyak memanfaatkan intuisi dan beragam
dugaan, kita memperoleh banyak terobosan dalam matematika. Anda dapat
mengembangkan banyak rumus dan trik cepat matematika dengan memanfaatkan
intuisi.
Untuk anak-anak kecil mulai TK di APIQ, kami
mendukung agar anak-anak senang menebak. Setiap ada persoalan, anak-anak
akan menduga jawabannya. Guru tidak akan menyalahkan apa pun hasil
dugaan itu. Tugas guru adalah mengarahkan dugaan itu ke arah yang lebih
mendekati jawaban. Atau mengeksplorasi dugaan itu untuk menemukan
inovasi pembelajaran matematika baru.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…